FILOSOFISCHE UITDAGINGEN

Zelfs de oude Grieken begrepen duidelijk dat een wiskundige theorie vrij zou moeten zijn van tegenstrijdigheden. Dit betekent dat het onmogelijk is om als logisch gevolg uit de axioma’s de bewering P en zijn ontkenning niet-P af te leiden. Omdat men echter geloofde dat wiskundige objecten overeenkomsten hebben in de echte wereld, en axioma’s “idealisaties” zijn van de natuurwetten, twijfelde niemand aan de consistentie van de wiskunde. Bij de overgang van klassieke wiskunde naar moderne wiskunde kreeg het probleem van de consistentie een andere betekenis. De vrijheid om de axioma’s van elke wiskundige theorie te kiezen, moet opzettelijk worden beperkt door de consistentievoorwaarde, maar kunnen we er zeker van zijn dat aan deze voorwaarde zal worden voldaan?

We hebben het concept van een set al genoemd. Dit concept is altijd min of meer expliciet gebruikt in wiskunde en logica. In de tweede helft van de 19e eeuw. elementaire regels voor het omgaan met het concept van een set werden gedeeltelijk gesystematiseerd; daarnaast werden enkele belangrijke resultaten verkregen die de inhoud van de zogenaamde. verzamelingenleer (zie ook SET THEORIE), die als het ware een substraat is geworden voor alle andere wiskundige theorieën. Beginnend vanaf de oudheid tot en met de 19e eeuw. er was bijvoorbeeld angst voor oneindige menigten, weerspiegeld in de beroemde paradoxen van Zeno van Elea (5e eeuw voor Christus). Deze angsten waren deels metafysisch van aard en deels te wijten aan de moeilijkheden die samenhangen met het concept van het meten van hoeveelheden (bijvoorbeeld lengte of tijd). Deze moeilijkheden konden pas in de 19e eeuw worden opgelost. de basisconcepten van wiskundige analyse waren strikt gedefinieerd. In 1895 waren alle angsten weggenomen en leek de wiskunde op een onwankelbare basis van de verzamelingenleer te berusten. Maar in het volgende decennium kwamen er nieuwe argumenten naar voren die de inherente inconsistentie van de verzamelingenleer (en alle andere wiskunde) leken aan te tonen.

De nieuwe paradoxen waren heel eenvoudig. De eerste hiervan, Russells paradox, kan worden gezien in een eenvoudige versie die bekend staat als de “barbierparadox”. In een stad scheert een kapper alle inwoners die zich niet scheren. Wie scheert de kapper zelf? Als de kapper zich scheert, scheert hij niet alleen die inwoners die zich niet scheren, maar ook één bewoner die zichzelf scheert; als hij zich niet scheert, scheert hij niet alle inwoners van de stad die zich niet scheren. Een paradox van dit type doet zich voor wanneer het concept van “de verzameling van alle sets” wordt overwogen. Hoewel dit wiskundige object heel natuurlijk lijkt, leidt het erover redeneren snel tot tegenstrijdigheden.

Berry’s paradox is zelfs nog meer onthullend. Beschouw de verzameling van alle Russische uitdrukkingen die niet meer dan zeventien woorden bevatten; het aantal woorden in de Russische taal is eindig, daarom is het aantal van dergelijke uitdrukkingen ook eindig. Laten we uit hen degenen kiezen die ondubbelzinnig een geheel getal specificeren, bijvoorbeeld: “Het grootste oneven getal kleiner dan tien.” Het aantal van dergelijke zinnen is ook eindig; daarom is de verzameling gehele getallen die ze definiëren eindig. Laten we een eindige reeks van deze getallen aanduiden met D. Uit de rekenkundige axioma’s volgt dat er gehele getallen zijn die niet tot D behoren, en dat onder deze getallen het kleinste getal n is. Dit getal n wordt uniek bepaald door de zin: “Het kleinste gehele getal dat niet kan worden gedefinieerd door een zin die uit niet meer dan zeventien Russische woorden bestaat.” Maar deze zin bevat precies zeventien woorden. Daarom bepaalt het het getal n dat bij D moet horen, en we komen uit op een paradoxale tegenstelling.

rubiks kubus kopen